2021/5/28
主讲：邹自德教授
• 《高等数学基础》是广州开大开设的省开基础
课，5学分。
• 使用的主教材为中央电大出版社出版柳重堪主
编的《高等数学》上册第一分册。
2021/5/28
第一章 函 数
•函数y=f(x)的概念
•确定函数的两个要素:
定义域D; 对应规则f
•六类基本初等函数:
常值函数；幂函数；
指数函数；对数函数；
三角函数；反三角函数
• 函数的五种运算
（+、-、*、/、复合）
• 初等函数
2021/5/28
2、求函数的定义域
• 常见求函数定义域的几种情况：
（1）分式函数的分母不能为0；
（2）偶次根式内的量不能为负值；
（3）对数符号内的量必须取正值；
（4）反正弦、反余弦符号内的量，
其绝对值不能大于1；
• （5）由以上若干项组成，取公
共部分。
如,求y ln(1 x) x 2的定义域
2 1
2 0
1 0
:
x
x
x
解
• 3、计算函数值
• 要明确函数符号f表示一种运算规则
• 如：
( ) 2 3, (1) 6
2
设f x x x 则f
: ( ) ( ) 2( ) 3
2
解 f x x x
(1) 1 2 1 3 6
2
f
2021/5/28
4、判断两个函数是否相同
• 如：
f x x g x x
x
x
f x x g x
f x x g x x
( ) ; ( )
1
1
( ) 1; ( )
( ) ln ; ( ) 2ln
2
2
2
2021/5/28
第二章 极限与连续
1、函数极限与无穷小量的概念
•函数极限limf(x)反映的是函数随
自变量变化而变化的一种趋势。
•极限为０的量称为无穷小量。
如：
0
1
lim ( )sin
0 , ( )
0
x
g x
x g x
则
x
当 时 是无穷小量
2021/5/28
2、函数连续性概念
（分段函数）
• 函数f(x)在x。处连续必须同时
满足三个条件：
(3) lim ( ) ( )
(1) ( ) ; (2) lim ( )
0
0
0
0
f x f x
f x f x
x x
x x
存在 存在
• 因此要特别注意分段函数在分段点
上连续性讨论
• 如：
1
0
1 0
0
sin
k
x
x
x
x
k x
y
则
函数 在 处连续 k
x
k x
x
sin lim
0
k y(0) 1
2021/5/28
3、函数间断点概念
• 函数f(x)在点x。处不连续，即间断。
所以只要满足连续性三条件中有一个
不具备，函数在此点就间断。
• 如：
x e
x
y
函数 的间断点是
1 ln
1
解:当1ln x 0时 x e
2021/5/28
4、求函数极限
• 由于初等函数在其定义域内都连
续，所以求函数的极限主要是针
对不定式：
, .
0
0
及1
型求极限
( )
(2)
1
sin (1)
lim (1 )
)
1
lim (1
lim
1
0
0
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
或
• 使用的方法主要是两个重要极限
公式
2021/5/28
•当然还可以用“洛必塔”法则：
'( )
'( )
lim
( )
( )
lim
g x
f x
g x
f x
1 1
sin
: (1)
lim
0 x
x
x
如
2
( 1 1)
sin
: lim
0
x
x
x
x
解 原式
2021/5/28 )
1
2
(2)
lim (
x
x
x
x
e
x x
x
x
1 1
)
1
1
) (1
1
1
lim(1
:
原式
解
2021/5/28
第三章 导数与微分
• 1、导数的概念
• 函数在某点的导数是函数在该点的
变化率。导数是用来考察函数值随
自变量改变而改变的快慢程度的。
即，
'( )
( ) ( )
0
0 0
0
lim x
x x f
x
f x f
x
( )
( ) ( )
: ( ) ,
lim
0
f a
x
f a x f a
f x x a
x
如 若 在 处可导 则
2021/5/28
2、求曲线的切线方程
• 由导数的几何意义：函数
y=f(x)在x=x。点的导数f’(x。)
是曲线y=f(x)在点（x。,y。）
处的切线的斜率。
• 因此，曲线在点x=x。处的切线
方程为y-y。=f’(x。)(x-x。)
• 如：曲线y=xcosx在点（0，0）
处的切线方程为：y=x
(0) 1
cos sin
y
解 y x x x
所求切线方程为 y x
2021/5/28
3、求初等函数的导数与微分
• 由于初等函数是由六类基本初等函
数通过+、-、*、/、
“复合”5种
运算构成，所以对初等函数求导，
首先要熟记六类基本初等函数的求
导公式以及下面4种求导法则：
(4) [ ( ( ))] ( ) ( )
(3) ( )
(2) ( )
(1) ( )
2
f g x f u g x
v
u v uv
v
u
uv u v uv
u v u v
2021/5/28 y e x x dy 如:设
x
ln(1
2
) 13
2
求
2
2
-x 2
1 3x
3x ]
1 x
2x
y e [-ln(1 x )
:
解
dy y
dx } dx
1 3x
3x ]
1 x
2x {e [-ln(1 x )
2
2
-x 2
2021/5/28
4、求隐函数的导数与微分
• 由于隐函数是由方程所确定的
函数，所以求隐函数的导数，
只要将y看成是x的函数，然后
将方程两边同时对x求导即可。
2021/5/28: 1 ( ), (0)
2
e xy y y x y
x y
如 设方程
确定隐函数 求
解：将方程等式两边同时对x求导得：
e xy
e y
y
e y y xyy
x y
x y
x y
2
(1 ) 2 0
2
2
1
1 0
1 0
(0)
y
由原方程知, 当x=0时，y=0
2021/5/28
第四章 导数的应用
• 1、判断函数的单调区间
若f(x)在（a,b)内有f’(x)>0,(a,b)
为单调增区间；若f(x)在(a,b)内有
f’(x)<0，则(a,b)为单调递减区间。
单调区间之间的转折点为函数的极
值点。
, (1 )
: 1
y e x
y xe x
x
x
解
如 函数 的单调增加区间是
2021/5/28
2、判断函数的凹凸区间
• 若f(x)在（a b)内有f”(x)>0，则(a
b)为凹区间；若f(x)在(a b)内有
f”(x)<0，则(a b)为凸区间。
• 凹凸区间的转折点为函数的拐点。
2021/5/28 : ln(1 ) ( 1,1)
2
如 函数y x 的凹区间是
2
1
2
:
x
x
y
解
2 2
2
2 2
2 2
(1 )
2 2
(1 )
2(1 ) 4
x
x
x
x x
y
1 0 1 1
, 0
2
x x
令 y 得
2021/5/28
3、求最值问题（几何题为主）
• 例：已知圆柱体内接于半径为R的
球，试求体积最大的圆柱体的高。
•
。
R
h
r
2021/5/28
解：设内接圆柱体的高为x，底半径为r
)
4
3
(
)
4
, (
2 2
2
2 2
V R x
x
x
V r x R
则
R
v x R
3
2
,
( )
3
2
, 0 ,
体积最大的圆柱体的高为
由实际问题知
令 得 取正值
2021/5/28
第五章 不定积分
• 1、原函数与不定积分的概念
• 设F(x)是f(x)的一个原函数，则
f(x)的不定积分为F(x)+C，即
: ( ) , ( ) (1 )
( ) ( )
f x dx xe C f x e x
f x dx F x C
x x
如 则
2021/5/28
2、积分与导数的关系
• 一个函数先积分再微分，两种运算
互相抵消；先微分再积分，其结果
只差一个常数。即，
F x dx F x C dF x F x C
f x dx f x d f x dx f x dx
(2) ( ) ( ) ( ) ( )
(1) ( ( ) ) ( ) [ ( ) ] ( )
或
或
(
0
)
2
(
)
(
2
) : ( ) ( 1) (0) 2
(
2
)
(
) ,
ff
x
e
x
f
x
e
x
f
f
x dx xe
C
xx
x
解
则
如果
• 如：
d
x dx
x dx
2
2
(
1
) sin
sin
2021/5/28
3、不定积分的计算
• 基本思路：
1.先熟记基本公式（相当于六类基
本初等函数的不定积分）
2.引进一些运算法则（如：换元法，
分部积分法）
3.“组装”复杂初等函数的不定积
分。
2021/5/28
4、凑微分法
（相当于复合函数的不定积分）
• 常见的符合凑微分形式的不定积
分类型有：
x x x x
f e e dx f e de
f ax d ax
a
f ax x dx
f ax b d ax b
a
f ax b dx
(3) ( ) ( )
( ) ( )
1
(2) ( )
( ) ( )
1
(1) ( )
1
(arcsin ) (arcsin )
1
1
(8) (arcsin )
( ) ( )
1
1
(7) ( )
(6) ( )sec ( ) ( )
(5) (cos )sin (cos ) cos
(ln ) ln 1
(4) (ln )
2
2
2
dx f x d x
x
f x
dx f arctgx d arctgx
x
f arcdtgx
f tgx xdx f tgx d tgx
f x xdx f x d x
dx f x d x
x
f x
2021/5/28
dx
x 1 ln x
1
如: 求
(1 ln )
1 ln
1
d x
x
解原式 2 1 ln x C
2021/5/28
5、分部积分法 （相当于两个
函数相乘求不定积分）
• 原理：
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) . ,
( ) ( ) ,
u x dv x u x v x v x du x
v x u x dx
u x v x dx
转而计算 即
当计算 较难时
. .
, ,sin ,cos
,sin ,cos
成微分形式 再进行分部积分
等时 考虑把 凑
一般当被积函数含
dv
e dx dx xdx
e x x
x
x
如: 求 x cos5xdx
xd sin 5x
5
1
解:原式( sin 5 sin 5 )
5
1
x x xdx x x cos5x) C
5
1
( sin 5
5
1
2021/5/28
第六章 定积分及其应用
• 1、定积分的换元积分法
由于定积分计算的是一个具体数
值，所以换元后一直计算，不必
倒回至原积分变量。只需将积分
上下限作相应改变即可。
f x dx f t t dt
b
a
即, ( ) [ ( )] ( )
1
0
1
: dx
x
x
如 求
: , t x , x t dx 2tdt 2
解 令 则
1
0
2
2
1
2
dt
t
t
原式
1
0
2
)
1
1
2 (1 dt
t
)
4
2( ) 2(1
1
0
t arctgt
2021/5/28
2、定积分的分部积分法
• 与不定积分的分部积分法类似，只
是这里计算的结果不再是函数而是
一个具体数值。即，
b
a
b
a
v x du x
a
b
u(x)dv(x) [u(x)v(x)] ( ) ( )
2021/5/28
e
x xdx
1
如, 求 ln
e
xdx
1
2
3
ln
3
2
解: 原式
e
e
x x x dx
1
2
1
1
2
3
( ln )
3
2
)
3
2
(
3
2
1
2
3
2
3
e
e x
)
3
2
3
2
(
3
2 2
3
2
3
e e
9
4
9
2 2
3
e
2021/5/28
3、定积分的区间的可加性
• 这是定积分特有的性质，请特别注
意。
• 即，
f x dx f x dx f x dx
b
c
c
a
b
a
( ) ( ) ( )
2021/5/28
2
0
如, 求 x 1dx
1
0
2
1
解: 原式 (1 x)dx (x 1)dx 2
1
1 2
0
2
)
2
1
) (
2
1
(x x x x
1
2
1
2
1
2021/5/28
4、常见几种类型的定积分
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
f arctgx
f x dx
x
dx
x
x
f
dx
x
f x
xf x dx
2
2
1
( )
(5)
(ln )
1
(4)
)
1
(
(3)
( )
(1) cos (sin ) (2)
2021/5/28
第七章 级 数
• 1、级数收敛的必要条件
, 0 lim
1
n
n n
若级数 an
收敛 则 a
• 级数收敛的必要条件在判断级
数发散时是有效的。
• 因为：
如 级数 是发散的
则它一定发散
若级数 满足
1
2
1
: ( )
.
0,
lim
n
n
n n
n
n n n
a a
2021/5/28
2、几何级数和P-级数
的收敛条件
1 , ; 1 , .
(1) ,
0
当 时 收敛 当 时 发散
几何级数
q q
aq
n
n
1 , ; 1 , .
,
1
(2)
1
当 时 收敛 当 时 发散
级数
p p
n
p
n
p
2021/5/28
3、求幂级数收敛半径
0 , , , 0
1/ .
( 0),
1
0
lim
R R
R
a
a
a x a
n
n
n
n
n
n
n
当 时 为 当 为 时
如果 则收敛半径
对于幂级数
• 由此还可以推出：
.
1
2 1
0
2
a x a x R
n
n
n
n
n
幂级数 n
及 的收敛半径为
如 求幂级数 的收敛半径
1
2 1
4
( 1)
:
n
n
n
n
x
n
2
4
1
( 1)4
: lim 1
lim
R
n
n
a
a
n
n
n
n
解
2021/5/28
第八章 常微分方程
• 1、微分方程的一些基本概念
微分方程: 含有未知函数的导数
(或微分)的方程.
微分方程的阶: 方程中未知函数
导数的最高阶数.
• 通解: 如果微分方程的解中含有任
意常数,且任意常数的个数与方程
的阶数相同.
• 微分方程的特解: 满足给定的初始
条件的解.
, 2 ( ) 3 如 y
x y
2
y
5
e
x
的阶数是
2021/5/28
2、变量可分离的微分方程
( ) ( ) ( ) ( ) 0
, ( ). ( )
1 1
2 2
f x g y dx f x g y dy
f x g y
dx
dy 形如 或
( ) ( ) 2 1
将上方程两边同除以f x g y
.
( )
( )
( )
( )
:
1
2
2
1
即求得原微分方程的通解
方程两边积分得
dy
g y
g y
dx
f x
f x
如,求方程yy
2xsec y的通解.
解: y cos ydy 2 xdx y y y x C
2
sin cos
2021/5/28
3、一阶线性微分方程
• 形如, y’+p(x)y=q(x)
• 当q(x)=0,y’+p(x)y=0称为一
阶线性齐次微分方程.
(1)一阶线性齐次微分方程
y’+p(x)y=0的通解为:
p x d x
y ce
( )
(0) 2
0
,
y
y xy 如 求初值问题
2 2
1
2
2
1
ln
1
:
y ce x
y x c
dy xdx
y
解
2
2
1
*
2
(0) 2 2
x
y e
y c
p x d x
p x d x
y c x e
y ce
( )
( )
( )
2.
1.
设非齐次方程的通解为
求出对应的齐次方程的通解
（2）求非齐次线性方程：
y’+p(x)y=q(x)通解的步骤
（常数变易法）
y e q x e dx D
p( x)d x p( x)d x ( )
从而得原方程的通解为:
c x q x e dx D
p x d x
( )
( ) ( )
代入原方程得
2021/5/28如 求方程 ( 1)
2
的通解
1
2
,
y x
x
y
2
( 1)
1
2
:
y y C x
x
y
解 解相应的齐次方程 2
令原方程的解为: y C(x)(x 1)
( 1) ( )
( )( 1) ( 1) ( )
:
2
2 2
y x x D
C x x x C x x D
代入原方程得
2021/5/28
3、二阶线性常系数齐次微分方程
• 形如，y’’+py’+qy=0.求通解的
步骤（特征根法）
分别写出原方程的通解
由特征根的三种不同情况
求出特征方程的特征根
写出特征方程
(3)
(2) : ,
(1) : 0
1 2
2
p q
2021/5/28
y c x c x
y y
cos sin
, 0
1
2
如 方程 的通解为
i
: 1 0 解 解特征方程 2
y C cos x C sin x 1
2
原方程的通解为
2021/5/28
4、二阶线性常系数非齐次微分方程
• 形如，y’’+py’+qy=f(x)
其特解的求法如下（待定系数）
: ( ) .
(1) ( ) ( ) ,
- x
m
k
x
m
y x Q x e
f x p x e
其特解为
当 时
7 6 2 .
,
, 0,1 2.
, , ,
( ) ( )
求 的一个特解
如
或是重根 分别取 或
视 不是特征方程的根 是单根
其中 是与 同次的多项式
y y y x
k
Q x P x m m
2021/5/28求y
7y
6y x 2 的一个特解.
7 6 0 6, 1
:
1 2
2
解 解特征方程 x x
y C e C e2
6
1
相应齐次方程通解为:
3
1
3
1
: 1,
*
*
y x
设特解为 y Ax B A B
2021/5/28
• 其特解为：
(2).当f (x) e
x
p1
cos x p2
sin x时
0 1.
,
1
cos 2
sin *
或是特征方程的根而取 或
其中 k视 i不是特征方程的根
y x e Q x Q x
k x
2021/5/28如,求y
4y cos x的一个特解 : 4 0 2
2
解 解特征方程
x x
y C e C e
2
2
2
1
相应齐次方程通解为
y x
B
A
y A x B x
cos
5
1
:
5, 0
:
1
: cos sin *
所求方程的特解为
代入原方程解得
设特解为
发表评论